Consigne: Montrer que si \((a_k)_{k\geqslant0}\) et \((b_k)_{k\geqslant0}\) sont deux suites telles que :
- \((a_k)_{k\geqslant0}\) est une suite décroissante positive qui tend vers \(0\)
- Les sommes partielles de \((b_k)_{k\geqslant0}\) sont bornées : $$\exists M,\forall n\in{\Bbb N},\quad\lvert b_0+\ldots+b_n\rvert\leqslant M$$

Alors la série \(\displaystyle\sum_{k\geqslant0} a_kb_k\) converge
(théorème de la sommation d'Abel)

On va utiliser le critère de Cauchy
Montrons que $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N\in{\Bbb N},\forall n\geqslant N,\forall p\in{\Bbb N},\quad\left|\sum^{n+p}_{k=n} u_k\lt \varepsilon\right|$$

On utilise la transformation d'Abel : $$\sum^{n+p}_{k=n} u_k=\sum^{n+p}_{k=n} a_kb_k$$
On suppose que \(B_n=\sum^n_{k=0}b_n\) est telle que \(\lvert B_n\rvert\leqslant M\)

Puisque \(B_k-B_{k-1}=b_k\), on a : $$\sum^{n+p}_{k=n}a_kb_k=\sum^{n+p}_{k=n}a_k(B_k-B_{k-1})=\sum^{n+p}_{k=n}a_kB_k-\sum^{n+p}_{k=n}a_kB_{k-1}$$

On change d'indice dans la seconde somme en posant \(j=k-1\) : $$=\sum^{n+p}_{k=n}a_kB_k-\sum^{n+p+1}_{j=n-1}a_{j+1}B_j=\sum^{n+p}_{k=n}a_kB_k-\sum^{n+p+1}_{k=n-1}a_{k+1}B_k$$

Réunion des sommes en éjectant les éléments extrêmes
$$=a_{n+p}B_{n+p}+\sum^{n+p+1}_{k=n}(a_k-a_{k+1})B_k-a_nB_{n-1}$$

Passage à la valeur absolue avec les informations qu'on a sur \((a_n)_{n\in\Bbb N}\)
Puisque \((a_n)_{n\in\Bbb N}\) est positive et décroissante, on a donc : $$\left|\sum^{n+p}_{k=n}a_kb_k\right|\leqslant a_{n+p}\lvert B_{n+p}\rvert+\sum^{n+p-1}_{k=n}(a_k-a_{k+1})\lvert B_k\rvert+a_n\lvert B_{n-1}\rvert$$

$$\leqslant\left[ a_{n+p}+\sum^{n+p+1}_{k=n}(a_k-a_{k+1})+a_n\right] M=2Ma_n$$

Puisque \((a_n)_{n\in\Bbb N}\) est décroissante et positive, on a bien : $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N\in{\Bbb N},\forall n\geqslant N,\quad 2Ma_n\leqslant\varepsilon$$
Le théorème est donc bien vérifié

(Critère de Cauchy (Série))

Consigne: Indiquer la nature de la série suivante : $$\sum\frac{(-1)^n}{n+1}$$

On a \(a_n=\frac1{n+1}\) positive, décroissante et tendant vers \(0\)
Et de plus, si \(b_n=(-1)^n\) on a \(\left|\sum^n_{k=0}(-1)^k\right|\leqslant1\)
Donc, d'après le critère d'Abel, la série \(\sum a_nb_n=\sum\frac{(-1)^n}{n+1}\) converge

Consigne: Prouver que la série $$S(x)=\sum^{+\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}}{n+x^2}$$ converge simplement et uniformément sur \({\Bbb R}\) en utilisant le théorème des séries alternées, puis étudier la convergence normale de \(S(x)\)

Convergence simple via Leibniz
Soit \(x\in{\Bbb R}\) fixé
\(a_n=\frac1{n+x^2}\). \(a_n\) est positive, décroissante et tend vers \(0\)
Donc \(S(x)\) converge simplement sur \({\Bbb R}\) d'après le critère de Leibniz

Convergence uniforme via encadrement du reste par Abel
$$\begin{align}\lvert R_N(x)\rvert&\leqslant \lvert f_{n+1}(x)\rvert\\ &\leqslant\frac1{N+1+x^2}\\ &\leqslant\frac1{N+1}=\sup_{x\in{\Bbb R}}\lvert f_{n+1}(x)\rvert\underset{N\to+\infty}\longrightarrow0\end{align}$$

Convergence normale par série des \(\sup\) (ne fonctionne pas)

$$\sup_{x\in{\Bbb R}}\lvert f_n(x)\rvert=\sup_{x\in{\Bbb R}}\frac1{n+x^2}=\frac1n$$
\(\sum\frac1n\) est divergente, donc la série le converge pas normalement

(Critère de Leibniz - Théorème des séries alternées)

Consigne: La série $$S(x)=\sum^{+\infty}_{n=2}\frac{x\exp(-nx)}{\ln n}$$ converge simplement sur \({\Bbb R}_+\)
Prouver, en utilisant la méthode d'Abel, que la série \(S\) converge uniformément sur \({\Bbb R}_+\)

Définitions de \(a_n\) et \(b_n\) \(\to\) montrer qu'elles remplissent les hypothèses
Soit \(a_n=\frac1{\ln n}\). \((a_n)_n\) est positive, décroissante et tend vers \(0\)
Soit \(b_n(x)=xe^{-nx}\)
Alors $$\forall p\lt q,\left|\sum^q_{n=p+1}b_n(x)\right|=x\sum^q_{n=p+1}e^{-nx}=x\frac{e^{-(p+1)x}-e^{-(q+1)x}}{1-e^{-x}}\leqslant\frac{xe^{-(p+1)x}}{1-e^x}\leqslant\frac{xe^{-x}}{1-e^x}$$
Donc \(\forall p\lt q,\lvert\sum^q_{n=p+1}b_n(x)\rvert\leqslant M(x)\) avec \(M(x)=\frac{xe^{-x}}{1-e^{-x}}=\frac x{e^x-1}\)

Majorer \(M(x)\) par une constante \(\to\) condition d'Abel uniforme
Puisque \(e^x\) est convexe, sa courbe est toujours au-dessus de sa tangente. On a donc \(e^x\geqslant1-x\) et $$M(x)\leqslant\frac xx=1$$
Comme \(M(x)\leqslant1\), on a "la condition d'Abel uniforme" : $$\forall1\leqslant p\leqslant q,\left|\sum^q_{n=p+1}b_n(x)\right|\leqslant1$$ avec \(1\) indépendant de \(p,q\) mais aussi de \(x\geqslant0\)

Conclure en montrant que \(\sup_{x\geqslant0}\lvert R_N(x)\rvert\longrightarrow0\)

Donc $$\sup_{x\geqslant0}\lvert R_N(x)\rvert\leqslant2\frac1{\ln(N)}\underset{N\to+\infty}\longrightarrow0$$